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1.1 단항식과 다항식

• 단항식 : 수와 문자의 곱으로 이루어진 하나의 항

• 다항식 : 하나 이상의 단항식이 덧셈 또는 뺄셈으로 연결된 식

• 상수항 : 문자가 없는 항

예제

x^3 + 2x^2y + 5xy^2 + y^3 - 7

위 식은

$x^3$
$2x^2y$
$5xy^2$
$y^3$
$-7$

의 5개의 항으로 이루어진 다항식입니다.

또한 상수항은 $-7$ 입니다.

심화 : 다항식이 아닌 식

다항식은 문자의 지수가 0 이상의 정수인 항들로 이루어진 식입니다.

따라서 다음과 같은 식들은 다항식이 아닙니다.

$\frac{1}{x}$ : 문자가 분모에 있으므로 다항식이 아닙니다.
$\sqrt{x}$ : 문자의 지수가 분수이므로 다항식이 아닙니다.
$x^{-2}$ : 문자의 지수가 음수이므로 다항식이 아닙니다.
$\frac{x+1}{x}$ : 정리하면 분모에 문자가 남으므로 다항식이 아닙니다.

생각해보기

$\frac{x^2+x}{x}$ 는 다항식일까요?

이 식은 $x \neq 0$ 에서 $x+1$ 로 정리됩니다. 그러나 처음 식 자체에는 분모에 문자가 있으므로, 식을 다룰 때 정의역을 함께 생각해야 합니다.

1.2 계수와 차수

생각해보기

$5x^2y^3$ 은 몇 차식일까요?

많은 학생들은 “5차식”이라고 답합니다. 하지만 이 질문만으로는 차수를 결정할 수 없습니다.

수학에서는 먼저 어떤 문자를 변수로 볼 것인지 정해야 합니다.

즉, 다음과 같은 조건이 필요합니다.

$x$ 에 대하여
$y$ 에 대하여
$x, y$ 에 대하여

$x$ 에 대하여

5x^2y^3

$x$ 의 지수 : $2$
차수 : $2$
계수 : $5y^3$

$y$ 에 대하여

5x^2y^3

$y$ 의 지수 : $3$
차수 : $3$
계수 : $5x^2$

$x, y$ 에 대하여

5x^2y^3

전체 차수 : $2+3=5$
차수 : $5$
계수 : $5$

정리

계수와 차수는 어떤 문자를 변수로 정하느냐에 따라 달라질 수 있습니다. 따라서 수학 문제에서는 항상 “ $x$ 에 대하여”, “ $y$ 에 대하여”, “ $x,y$ 에 대하여”와 같은 조건을 먼저 확인해야 합니다.

용어 정리 : 계수와 차수

차수(Degree)

변수로 지정된 문자의 거듭제곱을 말합니다.

계수(Coefficient)

물어보는 변수를 제외하고, 그 변수에 곱해진 나머지 부분을 말합니다.

1.3 다항식의 정리

다항식은 보통 한 문자에 대하여 차수 순서대로 정리하여 사용합니다.

내림차순 : 차수가 높은 항 → 낮은 항
오름차순 : 차수가 낮은 항 → 높은 항

일반적으로는 내림차순 정리를 가장 많이 사용합니다.

예제

5xy^2 + 2x^3 - 3x^2y + 7

$x$ 에 대하여 내림차순

2x^3 - 3x^2y + 5xy^2 + 7

$x$ 에 대하여 오름차순

7 + 5xy^2 - 3x^2y + 2x^3

$y$ 에 대하여 내림차순

5xy^2 - 3x^2y + 2x^3 + 7

$y$ 에 대하여 오름차순

7 + 2x^3 - 3x^2y + 5xy^2

정리

어떤 문자에 대하여 정리하는지 먼저 확인합니다.
내림차순 정리는 차수가 높은 항부터 나열합니다.
오름차순 정리는 차수가 낮은 항부터 나열합니다.
일반적으로는 내림차순 정리를 사용합니다.

심화 : 수의 내림차순 정리

우리가 사용하는 자연수도 사실은 내림차순 정리의 한 예입니다.

1234 = 1\cdot10^3 + 2\cdot10^2 + 3\cdot10 + 4

즉 1234는 10에 대하여 내림차순으로 정리된 식이라고 볼 수 있습니다.

1.4 곱셈의 원칙

식의 곱셈은 항상 다음 순서로 계산합니다.

부호
숫자
문자

복잡한 식이라도 부호, 숫자, 문자를 따로 계산하면 쉽게 정리할 수 있습니다.

예제 1

(-2x^2)(3x^3)

① 부호 계산

(-)(+)=-

② 숫자 계산

2\times3=6

③ 문자 계산

x^2\times x^3=x^5

결과

-6x^5

예제 2

\left(-\frac{2x^2}{3y^3}\right)^3

① 부호 계산

(-)^3=-

② 숫자 계산

\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27}

③ 문자 계산

(x^2)^3=x^6

(y^3)^3=y^9

결과

-\frac{8x^6}{27y^9}

정리

곱셈은 항상 부호 → 숫자 → 문자 순서로 계산한다.
문자는 같은 문자끼리 계산한다.
복잡한 식도 세 부분으로 나누어 생각하면 쉽게 계산할 수 있다.

생각해보기

학생들은 종종 식 전체를 한 번에 계산하려고 합니다.

하지만 대부분의 곱셈은 부호, 숫자, 문자를 각각 계산한 뒤 결과를 합치는 방식으로 처리할 수 있습니다.

다음 단원에서 배우는 지수법칙도 이러한 곱셈의 원칙에서 자연스럽게 만들어집니다.

1.5 지수법칙

지수는 같은 문자가 몇 번 곱해졌는지를 나타냅니다. 따라서 지수법칙은 외워야 할 공식이 아니라, 곱해진 문자의 개수를 세는 방법입니다.

생각해보기 1

x^2 \cdot x^3

이 식은 왜 $x^5$ 가 될까요?

x^2 = x \cdot x

x^3 = x \cdot x \cdot x

x^2 \cdot x^3 = (x \cdot x)(x \cdot x \cdot x)

= x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x

= x^5

지수법칙 ①

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

같은 밑끼리 곱하면 지수끼리 더합니다. 지수는 곱해진 개수를 의미하므로, 두 묶음의 개수를 합치는 것입니다.

생각해보기 2

x^5 \div x^3

이 식은 왜 $x^2$ 가 될까요?

x^5 \div x^3 = \frac{x^5}{x^3}

= \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x \cdot x}

= x^2

지수법칙 ②

a^m \div a^n = a^{m-n}

같은 밑끼리 나누면 지수끼리 뺍니다. 분자와 분모에서 같은 문자를 약분하면 남는 개수를 세는 것입니다.

생각해보기 3

(x^2)^3

이 식은 $x^2$ 이 3번 곱해진 것입니다.

(x^2)^3 = x^2 \cdot x^2 \cdot x^2

= x^{2+2+2}

= x^6

지수법칙 ③

(a^m)^n = a^{mn}

거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수끼리 곱합니다. 이는 $m$ 개씩 있는 묶음이 $n$ 번 반복되기 때문입니다.

심화 : 곱 전체에 지수가 붙는 경우

괄호 안에 여러 요소가 곱해져 있고, 괄호 전체에 지수가 붙으면 각각에 지수가 적용됩니다.

(ab)^n = a^n b^n

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

예를 들어 다음 식을 생각해봅시다.

\left(-\frac{2x^2}{3y^3}\right)^3

이 식은 1.4에서 배운 것처럼 부호, 숫자, 문자로 나누어 계산할 수 있습니다.

부호 : $(-)^3 = -$
숫자 : $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$
문자 : $(x^2)^3=x^6,\quad (y^3)^3=y^9$

따라서

\left(-\frac{2x^2}{3y^3}\right)^3 = -\frac{8x^6}{27y^9}

정리

지수는 같은 문자가 곱해진 개수를 나타냅니다.
같은 밑끼리 곱하면 지수를 더합니다.
같은 밑끼리 나누면 지수를 뺍니다.
거듭제곱을 다시 거듭제곱하면 지수를 곱합니다.
복잡한 식도 부호, 숫자, 문자로 나누어 계산하면 됩니다.

1.6 다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항끼리 계산합니다. 이때 실제로 계산하는 것은 문자가 아니라 계수입니다.

계산의 원칙

동류항은 주어진 변수에 대하여 같은 문자와 같은 차수를 가진 항입니다.
가장 높은 차수부터 차례대로 봅니다.
같은 차수의 항끼리 계수만 계산합니다.
계산한 결과를 바로 써 내려갑니다.
식을 여러 번 다시 쓸 필요는 없습니다.

예제 1 : 숫자 계수의 계산

(3x^2+5x+7)+(2x^2-3x+1)

같은 차수의 항끼리 계수만 계산합니다.

(3+2)x^2+(5-3)x+(7+1)

=5x^2+2x+8

예제 2 : 문자 계수의 계산

(3x^2+5x+7)-(x^2+3yx-5)+(2x^2-zx+5)

이 식을 $x$ 에 대하여 보면, $3yx$ 는 $(3y)x$ 이고, $zx$ 는 $zx$ 입니다. 따라서 $x$ 항의 계수에는 문자도 포함될 수 있습니다.

(3-1+2)x^2+(5-3y-z)x+(7+5+5)

=4x^2+(5-3y-z)x+17

예제 3 : 필요한 항만 보면서 계산하기

(2x^2+x+1)-(5-3x-x^2+3x^3)

식 전체를 여러 번 다시 쓰지 않고, 필요한 차수의 항만 보면서 계산합니다.

3차항만 봅니다.

(\quad)-(\quad 3x^3)

0-3=-3

-3x^3

2차항만 봅니다.

(2x^2)-(-x^2)

2-(-1)=3

+3x^2

1차항만 봅니다.

(x)-(-3x)

1-(-3)=4

+4x

상수항만 봅니다.

(1)-(5)

1-5=-4

-4

따라서

-3x^3+3x^2+4x-4

예제 4 : 괄호를 모두 풀지 않고 계산하기

각 항이 받는 부호만 확인하여 식을 한 줄로 정리합니다.

2x-[x^2-\{4x^3+(2x-6+x^2)\}-4x]

부호 추적

$4x^3$ : 중괄호와 대괄호의 영향을 받아 $+4x^3$ 가 됩니다.
첫 번째 $-x^2$ : 대괄호의 영향을 받아 $-x^2$ 가 됩니다.
중괄호 안의 $+x^2$ : 중괄호와 대괄호의 영향을 받아 $+x^2$ 가 됩니다.
$+2x$ : 중괄호와 대괄호의 영향을 받아 $+2x$ 가 됩니다.
$-6$ : 중괄호와 대괄호의 영향을 받아 $-6$ 이 됩니다.
$-4x$ : 대괄호의 영향을 받아 $+4x$ 가 됩니다.
맨 앞의 $2x$ 는 그대로 유지됩니다.

따라서 한 줄로 정리하면

4x^3-x^2+x^2+2x+4x+2x-6

동류항끼리 계산하면

4x^3+8x-6

핵심

전개는 괄호를 순서대로 푸는 과정이 아닙니다. 각 항이 받는 부호만 확인하면 식을 여러 번 다시 쓰지 않고도 한 줄로 정리할 수 있습니다.

심화 : 객관식에서는 필요한 항만 계산합니다

객관식 문제에서는 모든 항을 계산할 필요가 없는 경우가 많습니다. 보기의 차이점을 먼저 확인하고, 답을 구분할 수 있는 항만 계산합니다.

A=3x^2-x+5,\quad B=x^2-2x-3

$A-B$ 를 구할 때, 이차항의 계수만 먼저 보면 $3-1=2$ 입니다.

일차항의 계수는 $-1-(-2)=1$ 입니다.

따라서 보기에서 이차항의 계수가 $2$ 이고, 일차항의 계수가 $1$ 인 것을 찾으면 됩니다. 이 경우 상수항까지 계산하지 않아도 답이 결정될 수 있습니다.

정리

다항식의 덧셈과 뺄셈은 동류항의 계수를 계산하는 과정입니다.
계수에는 숫자뿐만 아니라 문자가 포함될 수도 있습니다.
주어진 변수에 대하여 가장 높은 차수부터 차례대로 봅니다.
필요한 항만 보면 식을 여러 번 다시 쓰지 않고 계산할 수 있습니다.
객관식에서는 보기의 특징을 보고 필요한 항만 계산할 수 있습니다.

1.7 2항의 거듭제곱

다항식의 곱셈은 새로운 계산이 아닙니다. 초등학교에서 배운 자연수의 곱셈을 문자로 표현한 것입니다.

초등수학에서 문자로

12 \times 34=(10+2)(30+4)

자연수의 곱셈도 각 자리의 수를 나누어 곱한 뒤 더하는 계산입니다. 다항식의 곱셈도 같은 원리입니다.

(x+y)(x+y)

곱셈의 횟수

2항의 거듭제곱은 각 괄호에서 하나씩 선택하여 곱하는 과정입니다.

(x+y)^2=(x+y)(x+y)

곱셈 결과는 $2\times2=4$ 개입니다.

(x+y)^3=(x+y)(x+y)(x+y)

곱셈 결과는 $2\times2\times2=8$ 개입니다.

(x+y)^4=(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)

곱셈 결과는 $2^4=16$ 개입니다.

실제 전개되는 항

$(x+y)^2$ 는 4개의 곱셈 결과가 만들어집니다.

xx+xy+yx+yy

=x^2+2xy+y^2

$(x+y)^3$ 는 8개의 곱셈 결과가 만들어집니다.

xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy

=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3

여기서 $xxy, xyx, yxx$ 는 모두 같은 동류항입니다. 따라서 $3x^2y$ 가 됩니다.

공식 암기 요령

2항의 제곱

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

앞항의 제곱입니다.
뒤항의 제곱입니다.
눈에 보이는 것을 모두 곱하여 더합니다.

\text{앞}^2+\text{뒤}^2+2\cdot\text{앞}\cdot\text{뒤}

2항의 세제곱

(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)

앞항의 세제곱입니다.
뒤항의 세제곱입니다.
눈에 보이는 것을 모두 곱합니다.
괄호를 한 번 더 복사합니다.

\text{앞}^3+\text{뒤}^3+3\cdot\text{앞}\cdot\text{뒤}\cdot(\text{앞}+\text{뒤})

심화 : 3개 중 2개를 알려주고 1개를 찾습니다

수학 문제에서는 세 개의 정보 중 두 개를 알려주고 나머지 하나를 묻는 경우가 많습니다.

제곱의 합, 합, 곱

x^2+y^2,\quad x+y,\quad xy

(x+y)^2=x^2+y^2+2xy

세 식 중 두 개를 알면 나머지 하나를 구할 수 있습니다.

세제곱의 합, 합, 곱

x^3+y^3,\quad x+y,\quad xy

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)

이 식도 세 개 중 두 개를 알면 나머지 하나를 구할 수 있습니다.

합과 차는 제곱으로 연결됩니다

x+y,\quad x-y,\quad xy

(x+y)^2-(x-y)^2=4xy

합과 차를 알고 있으면 제곱을 이용하여 곱을 구할 수 있습니다.

심화 예제 : 3개 중 2개를 이용하여 나머지 1개를 찾습니다

예제 1

x+y=5,\quad x^2+y^2=21

일 때, $x^3+y^3$ 의 값을 구합니다.

풀이 보기

구하려는 대상은 세제곱의 합입니다. 주어진 조건은 합과 제곱의 합이므로, 직접 관련이 있는 식부터 조작합니다.

세제곱의 합을 구하려면 $x+y$ 와 $xy$ 가 필요합니다. 따라서 먼저 $xy$ 를 구합니다.

(x+y)^2=x^2+y^2+2xy

5^2=21+2xy

25=21+2xy

xy=2

이제 $x+y=5$ , $xy=2$ 를 알게 되었습니다.

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)

=5^3-3\cdot2\cdot5

=125-30

=95

따라서 답은 $95$ 입니다.

별해 : 공식을 잊었을 때 조립하기

공식을 잊었을 때는 한 문자를 다른 문자로 정리하여 조립합니다.

x+y=5

y=5-x

이것을 제곱의 합에 대입합니다.

x^2+(5-x)^2=21

2x^2-10x+25=21

x^2-5x+2=0

따라서

x^2=5x-2

양변에 $x$ 를 곱하여 세제곱을 만듭니다.

x^3=5x^2-2x

=5(5x-2)-2x

=23x-10

같은 방법으로

y^3=23y-10

두 식을 더합니다.

x^3+y^3=23(x+y)-20

=23\cdot5-20

=95

예제 2

a+b=1,\quad a^3+b^3=3

일 때, $a^2+b^2$ 의 값을 구합니다.

풀이 보기

구하려는 대상은 제곱의 합입니다. 제곱의 합은 합과 곱으로 연결됩니다.

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

따라서 $ab$ 를 알아야 합니다. 두 번째 조건을 이용하기 위해 합을 세제곱합니다.

a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

3=1^3-3ab\cdot1

3=1-3ab

ab=-\frac{2}{3}

이제 제곱의 합을 구합니다.

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

=1^2-2\left(-\frac{2}{3}\right)

=1+\frac{4}{3}

=\frac{7}{3}

따라서 답은 $\frac{7}{3}$ 입니다.

별해 : 공식을 잊었을 때 조립하기

합을 한 문자로 정리합니다.

a+b=1

b=1-a,\quad a=1-b

두 번째 식에 각각 대입합니다.

a^3+(1-a)^3=3

b^3+(1-b)^3=3

첫 번째 식을 정리합니다.

a^3+1-3a+3a^2-a^3=3

3a^2-3a-2=0

두 번째 식도 같은 형태가 됩니다.

3b^2-3b-2=0

두 식을 더합니다.

3(a^2+b^2)-3(a+b)-4=0

3(a^2+b^2)-3-4=0

3(a^2+b^2)=7

a^2+b^2=\frac{7}{3}

예제 3

x+y=5,\quad x^3+y^3=65

일 때, $x^3-y^3$ 의 값을 구하여라. (단, $x>y$ )

풀이 보기

구하려는 대상은 세제곱의 차입니다. 하지만 현재 차에 대한 정보가 없으므로 먼저 $x-y$ 를 구해야 합니다.

합과 차는 제곱으로 연결됩니다. 따라서 차를 구하려면 먼저 $xy$ 를 알아야 합니다.

(x+y)^2=(x-y)^2+4xy

주어진 조건에 세제곱의 합이 있으므로 이를 이용하여 $xy$ 를 구합니다.

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)

65=5^3-3xy\cdot5

65=125-15xy

xy=4

이제 합과 곱을 이용하여 차를 구합니다.

(x-y)^2=(x+y)^2-4xy

=25-16

=9

x-y=3

(단, $x>y$ 이므로 양수)

세제곱의 차 공식을 이용합니다.

x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

=25-8

=17

x^2+xy+y^2=17+4=21

x^3-y^3=3\times21

=63

따라서 답은 $63$ 입니다.

별해 : 합과 차를 이용한 연립방정식

앞의 풀이에서

x+y=5

x-y=3

를 얻었습니다.

두 식을 더하면

2x=8

x=4

두 식을 빼면

2y=2

y=1

따라서

x^3-y^3=4^3-1^3

=64-1

=63

따라서 답은 $63$ 입니다.

예제 4

x+y-2=0,\quad x^3+y^3+10=0

일 때, $x^5+y^5$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

구하려는 대상은 다섯제곱의 합입니다. 하지만 $(x+y)^5$ 를 전개하여 32개의 항을 모두 계산할 필요는 없습니다.

$5=3+2$ 이므로 세제곱의 합과 제곱의 합을 곱해서 다섯제곱의 합을 만들 수 있습니다.

(x^3+y^3)(x^2+y^2)

=x^5+x^3y^2+x^2y^3+y^5

=x^5+y^5+x^2y^2(x+y)

따라서

x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-x^2y^2(x+y)

주어진 조건에서

x+y=2

x^3+y^3=-10

이제 $x^2+y^2$ 와 $xy$ 를 구해야 합니다.

먼저 세제곱의 합을 이용하여 곱을 구합니다.

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)

-10=2^3-3xy\cdot2

-10=8-6xy

xy=3

이제 제곱의 합을 구합니다.

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

=2^2-2\cdot3

=4-6

=-2

필요한 값을 모두 구했으므로 대입합니다.

x^5+y^5=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-x^2y^2(x+y)

=(-10)(-2)-3^2\cdot2

=20-18

=2

따라서 답은 $2$ 입니다.

예제 5

a+b=2,\quad ab=1

x+y=-1,\quad xy=2

그리고

m=ax+by,\quad n=bx+ay

일 때, $m^3+n^3$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

구하려는 대상은 세제곱의 합입니다.

m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)

따라서 먼저 $m+n$ 과 $mn$ 을 구합니다.

① 합 구하기

m+n=(ax+by)+(bx+ay)

=(a+b)(x+y)

=2\cdot(-1)

=-2

② 곱 구하기

mn=(ax+by)(bx+ay)

=ab(x^2+y^2)+(a^2+b^2)xy

먼저 $a^2+b^2$ 를 구합니다.

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab

=2^2-2\cdot1

=2

다음으로 $x^2+y^2$ 를 구합니다.

x^2+y^2=(x+y)^2-2xy

=(-1)^2-2\cdot2

=-3

이를 대입하면

mn=1\cdot(-3)+2\cdot2

=1

③ 세제곱의 합 구하기

m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)

=(-2)^3-3\cdot1\cdot(-2)

=-8+6

=-2

따라서 답은 $-2$ 입니다.

별해 : 숫자 감각으로 보기

주어진 조건에서

a+b=2,\quad ab=1

두 수의 합이 2이고 곱이 1이므로

a=b=1

따라서

m=ax+by=x+y

n=bx+ay=x+y

또

x+y=-1

이므로

m=n=-1

m^3+n^3=(-1)^3+(-1)^3

=-2

따라서 답은 $-2$ 입니다.

수학적 사고

복잡한 식을 보면 바로 전개하려고 하지 말고, 먼저 구하려는 대상이 무엇인지 확인합니다.

m^3+n^3

세제곱의 합은 합과 곱으로 연결되므로

m+n,\quad mn

을 먼저 찾는 것이 효율적인 방법입니다.

정리

2항의 거듭제곱은 각 괄호에서 하나씩 선택하여 곱하는 과정입니다.
곱셈 결과를 동류항끼리 정리하면 전개공식이 됩니다.
공식은 암기해야 하지만, 잊어버렸을 때 다시 조립할 수 있어야 합니다.
수학은 이해한 후에 익숙해져야 합니다.
이해만 하고 익숙해지지 않으면 계산이 느려지고, 암기만 하고 이해하지 못하면 쉽게 잊어버립니다.

1.8 다항의 제곱

다항의 제곱도 새로운 계산이 아닙니다. 초등학교에서 배운 두 자리 수 곱셈, 세 자리 수 곱셈, 네 자리 수 곱셈을 문자로 확장한 것입니다.

곱셈의 횟수

항이 2개인 식의 제곱은 $2\times2=4$ 번, 항이 3개인 식의 제곱은 $3\times3=9$ 번, 항이 4개인 식의 제곱은 $4\times4=16$ 번의 곱셈을 합니다.

(a+b)^2 \rightarrow 4\text{번}

(a+b+c)^2 \rightarrow 9\text{번}

(a+b+c+d)^2 \rightarrow 16\text{번}

표로 보는 다항의 제곱

$(a+b+c+d)^2$ 는 $(a+b+c+d)(a+b+c+d)$ 입니다. 이를 표로 나타내면 다음과 같습니다.

×	a	b	c	d
a	$a^2$	$ab$	$ac$	$ad$
b	$ab$	$b^2$	$bc$	$bd$
c	$ac$	$bc$	$c^2$	$cd$
d	$ad$	$bd$	$cd$	$d^2$

표를 보면 주대각선에는 각 항의 제곱이 놓이고, 나머지 항들은 서로 대칭으로 두 번씩 나타납니다.

3항의 제곱

$(a+b+c)^2$ 에서는 $a^2,b^2,c^2$ 가 한 번씩 나오고, $ab,bc,ca$ 가 두 번씩 나옵니다.

(a+b+c)^2

=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

4항의 제곱

$(a+b+c+d)^2$ 에서도 구조는 같습니다. 각 항의 제곱은 한 번씩 나오고, 서로 다른 두 항의 곱은 두 번씩 나옵니다.

(a+b+c+d)^2

=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)

구조

다항의 제곱은 항상 다음 구조를 가집니다.

각 항의 제곱을 모두 더합니다.

서로 다른 두 항의 곱을 모두 구한 뒤 2배하여 더합니다.

\text{다항의 제곱}=\text{각 항의 제곱의 합}+2\times\text{서로 다른 두 항의 곱의 합}

심화 : 세 수의 합, 제곱의 합, 두 수씩 곱한 값의 합

다음 세 식은 하나의 묶음으로 생각합니다.

x+y+z

x^2+y^2+z^2

xy+yz+zx

이 세 식은 삼항의 제곱을 이용하여 연결됩니다.

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)

따라서 세 식 중 두 개를 알면 나머지 하나를 구할 수 있습니다.

예제

x+y+z=6

xy+yz+zx=11

일 때, $x^2+y^2+z^2$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

주어진 식은 세 수의 합과 두 수씩 곱한 값의 합입니다.

구하려는 대상은 제곱의 합이므로 삼항의 제곱을 이용합니다.

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)

6^2=x^2+y^2+z^2+2\cdot11

36=x^2+y^2+z^2+22

x^2+y^2+z^2=14

따라서 답은 $14$ 입니다.

수학적 사고

다음 세 식은 하나의 묶음입니다.

x+y+z

x^2+y^2+z^2

xy+yz+zx

세 식 중 두 개를 알면 나머지 하나를 구할 수 있습니다.

이 묶음은 이후에 배우는 세제곱의 합, 대칭식, $x+y+z,\;xy+yz+zx,\;xyz$ 와도 연결됩니다.

정리

다항의 제곱은 초등학교에서 배운 곱셈을 문자로 확장한 것입니다.
항이 3개이면 9번, 항이 4개이면 16번의 곱셈이 생깁니다.
표로 나타내면 같은 항이 대칭으로 두 번씩 나타나는 것을 볼 수 있습니다.
각 항의 제곱은 한 번씩, 서로 다른 두 항의 곱은 두 번씩 더합니다.
계수가 모두 1인 경우 계수의 합은 곱셈의 횟수와 같습니다.

1.9 세 수의 합과 제곱의 합의 변형

a+b+c,\ a^2+b^2+c^2,\ ab+bc+ca

세 문자에서 자주 등장하는 식은 세 수의 합, 제곱의 합, 두 수씩 곱한 값의 합입니다. 이 세 식은 하나의 묶음으로 생각할 수 있습니다.

삼항제곱의 전개식

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

따라서 다음 세 식 중 두 개를 알면 나머지 하나를 구할 수 있습니다.

a+b+c

a^2+b^2+c^2

ab+bc+ca

삼항제곱식의 변형

a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}{2}

중요한 구조

다음 식은 세 개의 완전제곱식의 합으로 바꿀 수 있습니다.

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca

=\frac12\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}

제곱은 항상 0 이상이므로 이 식은 항상 0 이상입니다.

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0

0이 되는 경우

특히 다음 식이 0이면 세 개의 완전제곱식이 모두 0이어야 합니다.

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

\frac12\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}=0

a-b=0,\quad b-c=0,\quad c-a=0

a=b=c

따라서 다음 세 조건은 서로 동치입니다.

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

a=b=c

예제 1

모서리의 길이의 합이 88이고, 대각선의 길이가 14인 직육면체의 겉넓이를 구하여라.

풀이 보기

직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 $a,b,c$ 라 합니다.

4(a+b+c)=88

a+b+c=22

대각선의 길이가 14이므로

a^2+b^2+c^2=14^2=196

삼항제곱식을 이용합니다.

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

22^2=196+2(ab+bc+ca)

484=196+2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca=144

직육면체의 겉넓이는

2(ab+bc+ca)=288

따라서 답은 $288$ 입니다.

예제 2

a+b+c=4,\quad ab+bc+ca=9,\quad abc=3

일 때, $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

구하려는 식은 두 수씩 곱한 값들의 제곱의 합입니다. 따라서 $ab+bc+ca$ 를 제곱합니다.

(ab+bc+ca)^2

=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)

주어진 값을 대입합니다.

9^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2\cdot3\cdot4

81=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+24

a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=57

따라서 답은 $57$ 입니다.

예제 3

a-b=2+\sqrt3,\quad b-c=2-\sqrt3

일 때, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

중요한 구조를 이용합니다.

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca

=\frac12\left\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right\}

먼저

c-a=-(a-c)=-\{(a-b)+(b-c)\}

=-(2+\sqrt3+2-\sqrt3)

-4

따라서

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca

=\frac12\left\{(2+\sqrt3)^2+(2-\sqrt3)^2+(-4)^2\right\}

=\frac12\{(7+4\sqrt3)+(7-4\sqrt3)+16\}

=\frac12\cdot30

=15

따라서 답은 $15$ 입니다.

별해 : 식의 개수와 문자의 개수 보기

주어진 식은 2개이고 문자는 3개입니다. 따라서 한 문자를 편하게 정할 수 있습니다.

$b=0$ 으로 두면

a=2+\sqrt3,\quad c=-2+\sqrt3

이를 대입하여 계산해도 같은 값을 얻습니다.

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca

=(2+\sqrt3)^2+0+(-2+\sqrt3)^2

=(7+4\sqrt3)+(7-4\sqrt3)

=14

여기서 주의해야 합니다. 별해에서 단순 대입만 하면 원래 식의 모든 항을 정확히 확인해야 합니다. 이 문제는 완전제곱식 구조로 푸는 풀이가 더 안전합니다.

예제 4

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,\quad abc=2

일 때, $ab^2c^3$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

주어진 조건 $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ 는 세 수가 모두 같다는 뜻입니다.

a=b=c

하지만 이 문제에서는 실제로 각각의 값을 구할 필요가 없습니다.

ab^2c^3=a^6

=2^2

=4

따라서 답은 $4$ 입니다.

예제 5

a^2+b^2+c^2=1,\quad a+b+c=\sqrt3

일 때, $abc$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

합을 제곱하여 두 수씩 곱한 값의 합을 구합니다.

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

(\sqrt3)^2=1+2(ab+bc+ca)

3=1+2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca=1

따라서

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

이므로

a=b=c

$a=b=c=t$ 라고 두면

3t^2=1

t=\frac1{\sqrt3}

따라서

abc=t^3=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^3

=\frac{\sqrt3}{9}

따라서 답은 $\frac{\sqrt3}{9}$ 입니다.

1.10 세 수의 세제곱의 합과 전개구조

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

1.9에서 우리는 세 수의 합, 제곱의 합, 두 수씩 곱한 값의 합을 하나의 묶음으로 보았습니다. 이번에는 이 묶음이 세제곱의 합과 어떻게 연결되는지 살펴봅니다.

핵심 전개식

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

=a^3+b^3+c^3-3abc

좌변에는 $a+b+c$ , $a^2+b^2+c^2$ , $ab+bc+ca$ 가 들어 있습니다.

우변에는 $a^3+b^3+c^3$ 와 $abc$ 가 들어 있습니다.

구조의 이해

이 식은 다섯 개의 대상으로 이루어진 것처럼 보입니다.

a+b+c

a^2+b^2+c^2

ab+bc+ca

a^3+b^3+c^3

abc

하지만 좌변의 세 대상은 1.9에서 배운 것처럼 세 개 중 두 개만 알면 나머지 하나를 구할 수 있습니다. 따라서 실제 문제에서는 네 개를 모두 주지 않고, 보통 세 개의 조건만 주어도 나머지를 찾을 수 있습니다.

0이 되는 경우

a^3+b^3+c^3-3abc=0

위 식은 다음과 같이 인수분해됩니다.

a^3+b^3+c^3-3abc

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

따라서 이 식이 0이 되려면 다음 둘 중 하나가 성립해야 합니다.

a+b+c=0

\text{또는}

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

그런데 1.9에서 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$ 은 $a=b=c$ 와 동치임을 배웠습니다.

a^3+b^3+c^3=3abc

따라서 $a^3+b^3+c^3=3abc$ 는 $a+b+c=0$ 이거나 $a=b=c$ 일 때 성립합니다.

자주 사용하는 형태

특히 세제곱의 밑의 합이 0이면 다음 식을 바로 사용할 수 있습니다.

a+b+c=0

\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc

예제 1

a+b+c=5,\quad ab+bc+ca=2,\quad abc=-8

일 때, $a^3+b^3+c^3$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

구하려는 대상은 세제곱의 합입니다. 핵심 전개식을 이용합니다.

a^3+b^3+c^3-3abc

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

먼저 $a^2+b^2+c^2$ 를 구하기 위해 합을 제곱합니다.

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

5^2=a^2+b^2+c^2+2\cdot2

a^2+b^2+c^2=21

따라서

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=21-2=19

a^3+b^3+c^3-3abc=5\cdot19=95

abc=-8

3abc=-24

a^3+b^3+c^3=95+3abc

=95-24

=71

따라서 답은 $71$ 입니다.

예제 2

a+b+c=\sqrt6,\quad a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

일 때, $a^3+b^3+c^3$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

주어진 조건 $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$ 는 세 수가 모두 같다는 뜻입니다. 1.9에서 배운 결과를 사용합니다.

a=b=c

$a=b=c=t$ 라고 두면

3t=\sqrt6

t=\frac{\sqrt6}{3}

따라서

a^3+b^3+c^3=3t^3

=3\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^3

=\frac{2\sqrt6}{3}

따라서 답은 $\frac{2\sqrt6}{3}$ 입니다.

예제 3

x+y+z=0,\quad xy+yz+zx=1,\quad xyz=2

일 때, $x^3+y^3+z^3$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

세제곱의 밑의 합이 0입니다.

x+y+z=0

따라서 다음 식을 바로 사용할 수 있습니다.

x^3+y^3+z^3=3xyz

=3\cdot2

=6

따라서 답은 $6$ 입니다.

예제 4

a+b+c=0

일 때, $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

세제곱의 밑의 합이 0이므로

a^3+b^3+c^3=3abc

따라서

\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}

=\frac{3abc}{abc}

=3

따라서 답은 $3$ 입니다.

예제 5

세 변의 길이가 $a,b,c$ 인 삼각형에 대하여

a^3+b^3+c^3=3abc

가 성립할 때, 삼각형의 모양을 구하여라.

풀이 보기

주어진 식은 다음과 같습니다.

a^3+b^3+c^3-3abc=0

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0

삼각형의 세 변의 길이는 양수이므로 $a+b+c=0$ 은 될 수 없습니다.

따라서

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0

이고, 1.9에서 배운 것처럼

a=b=c

따라서 삼각형은 정삼각형입니다.

예제 6

0이 아닌 서로 다른 세 실수 $a,b,c$ 에 대하여

a^3+b^3+c^3-3abc=0

이 성립할 때, $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

주어진 식은 다음과 같이 인수분해됩니다.

a^3+b^3+c^3-3abc

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

그런데 $a,b,c$ 는 서로 다른 세 실수이므로 $a=b=c$ 는 될 수 없습니다.

따라서

a+b+c=0

그러면

a+b=-c,\quad b+c=-a,\quad c+a=-b

따라서

(a+b)(b+c)(c+a)

=(-c)(-a)(-b)

-abc

\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}

=\frac{-abc}{abc}

-1

따라서 답은 $-1$ 입니다.

예제 7

0이 아닌 세 수의 합이 0이고, 역수의 합이 $\frac32$ 이며, 제곱의 합이 $10$ 일 때, 세 수의 세제곱의 합을 구하여라.

풀이 보기

세 수를 $a,b,c$ 라고 합니다.

a+b+c=0

구하려는 대상은 $a^3+b^3+c^3$ 입니다.

세제곱의 밑의 합이 0이므로

a^3+b^3+c^3=3abc

따라서 $abc$ 를 구하면 됩니다.

역수의 합을 정리하면

\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{ab+bc+ca}{abc}

\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac32

이제 $ab+bc+ca$ 를 구합니다.

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

0^2=10+2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca=-5

따라서

\frac{-5}{abc}=\frac32

abc=-\frac{10}{3}

그러므로

a^3+b^3+c^3=3abc

=3\left(-\frac{10}{3}\right)

-10

따라서 답은 $-10$ 입니다.

예제 8

다음 식을 인수분해하여라.

(a-b-1)^3+(b-c-2)^3+(c-a+3)^3

풀이 보기

세 개의 세제곱의 밑을 각각

A=a-b-1

B=b-c-2

C=c-a+3

라고 두자.

먼저 세 수의 합을 확인하면

A+B+C

=(a-b-1)+(b-c-2)+(c-a+3)

=0

따라서

A^3+B^3+C^3=3ABC

이므로

(a-b-1)^3+(b-c-2)^3+(c-a+3)^3

=3(a-b-1)(b-c-2)(c-a+3)

따라서

3(a-b-1)(b-c-2)(c-a+3)

로 인수분해된다.

예제 9

다음 식을 인수분해하여라.

(x-1)^3+(x-2)^3-(2x-3)^3

풀이 보기

세 개의 세제곱의 밑을 각각

A=x-1

B=x-2

C=-(2x-3)

라고 두자.

주의할 점은

-(2x-3)^3=[-(2x-3)]^3

이므로 세 번째 밑은

2x-3

이 아니라

-(2x-3)

라는 것이다.

세 수의 합을 계산하면

A+B+C

=(x-1)+(x-2)-(2x-3)

=0

따라서

A^3+B^3+C^3=3ABC

이므로

(x-1)^3+(x-2)^3-(2x-3)^3

=3(x-1)(x-2)\{-(2x-3)\}

-3(x-1)(x-2)(2x-3)

따라서

-3(x-1)(x-2)(2x-3)

로 인수분해된다.

1.11 2항×다항식의 전개

2항과 다항식의 곱에서는 항들이 일정한 순서로 만들어집니다. 이 단원에서는 전개 결과를 외우는 것이 아니라, 계수가 만들어지는 순서를 확인합니다.

일차식과 이차식의 곱

(x+2)(3x^2+5x+7)

×	$3x^2$	$5x$	$7$
$x$	$3x^3$	$5x^2$	$7x$
$2$	$6x^2$	$10x$	$14$

같은 차수끼리 모으면 다음과 같습니다.

3x^3+(5+6)x^2+(7+10)x+14

=3x^3+11x^2+17x+14

계수가 만들어지는 순서

위의 전개에서 계수는 다음 순서로 만들어집니다.

3

5+6

7+10

14

최고차항과 상수항은 한 가지 방법으로만 만들어집니다. 가운데 항들은 두 개의 곱이 합쳐져 만들어집니다.

1,\;2,\;2,\;1

일차식과 삼차식의 곱

(x+2)(3x^3+5x^2+7x+11)

×	$3x^3$	$5x^2$	$7x$	$11$
$x$	$3x^4$	$5x^3$	$7x^2$	$11x$
$2$	$6x^3$	$10x^2$	$14x$	$22$

같은 차수끼리 모으면 다음과 같습니다.

3x^4+(5+6)x^3+(7+10)x^2+(11+14)x+22

=3x^4+11x^3+17x^2+25x+22

계수가 만들어지는 순서

3

5+6

7+10

11+14

22

이번에는 계수가 $1,\;2,\;2,\;2,\;1$ 의 구조로 만들어집니다.

관찰

2항과 다항식의 곱에서는 최고차항과 최저차항이 한 가지 방법으로만 만들어집니다. 그 사이의 항들은 두 개의 곱이 합쳐져 만들어집니다.

최고차항 : 한 가지 방법

가운데 항들 : 두 가지 방법의 합

최저차항 : 한 가지 방법

수학적 사고

처음에는 단순히 전개하는 것이 더 쉬워 보일 수 있습니다. 하지만 전개되는 순서를 익히면 계수가 어떻게 만들어지는지 볼 수 있습니다.

이 구조는 나중에 인수분해와 다항식의 나눗셈을 배울 때 전개의 역과정으로 다시 사용됩니다.

정리

2항과 다항식의 곱은 일정한 순서로 전개됩니다.
최고차항과 최저차항은 한 가지 방법으로만 만들어집니다.
가운데 항들은 두 개의 곱이 합쳐져 만들어집니다.
전개 결과보다 계수가 만들어지는 순서를 보는 것이 중요합니다.

1.12 일차식곱의 전개와 1차꼴·2차꼴·3차꼴

일차식의 곱은 단순한 전개 계산이 아닙니다. 각 계수가 어떤 상수들의 조합으로 만들어지는지 살펴보면, 앞에서 배운 묶음 구조를 다시 확인할 수 있습니다.

일차식 두 개의 곱

(x+a)(x+b)=x^2+ax+bx+ab

=x^2+(a+b)x+ab

\text{상수항의 1차꼴}=a+b

\text{상수항의 2차꼴}=ab

(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab

일차식 세 개의 곱

(x+a)(x+b)(x+c)

상수항을 하나 선택하면 1차꼴, 두 개 선택하면 2차꼴, 세 개 모두 선택하면 3차꼴이 됩니다.

1차꼴=a+b+c

2차꼴=ab+bc+ca

3차꼴=abc

(x+a)(x+b)(x+c)

=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc

(x-a)(x-b)(x-c)

=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc

정리

(x+a)(x+b)=x^2+(1차꼴)x+(2차꼴)

(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(1차꼴)x^2+(2차꼴)x+(3차꼴)

이 구조는 방정식 단원의 근과 계수의 관계에서 다시 등장합니다. 지금은 일차식의 곱에서 1차꼴, 2차꼴, 3차꼴이 어떻게 만들어지는지 이해하는 데 집중합니다.

심화 : 두 수의 합의 곱

다음 식을 생각해 봅니다.

(a+b)(b+c)(c+a)

$S=a+b+c$ 라고 하면

a+b=S-c,\quad b+c=S-a,\quad c+a=S-b

따라서 두 수의 합의 곱은 다음과 같이 일차식 세 개의 곱으로 바뀝니다.

(a+b)(b+c)(c+a)=(S-a)(S-b)(S-c)

이제 일차식 세 개의 곱의 전개 구조를 이용합니다.

(S-a)(S-b)(S-c)

=S^3-S^2(a+b+c)+S(ab+bc+ca)-abc

여기서 $S=a+b+c$ 이므로

S^3-S^2(a+b+c)=S^3-S^3=0

따라서 다음 식을 얻습니다.

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

별해 : 대칭식으로 보기

위 식은 직접 전개하여 비교할 수도 있습니다.

(a+b)(b+c)(c+a)

=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc

(a+b+c)(ab+bc+ca)

=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc

두 식을 비교하면 아래 식이 성립합니다.

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

심화 예제 1

0이 아닌 세 실수 $a,b,c$ 에 대하여

a+b+c=-1,\quad \frac1a+\frac1b+\frac1c=1

일 때, $(1-a)(1-b)(1-c)$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

먼저 $a+b+c=-1$ 이므로

1-a=-(a+b+c)-a=-(2a+b+c)

이 방식은 복잡합니다. 이 문제에서는 일차식 세 개의 곱으로 바로 전개하는 것이 좋습니다.

(1-a)(1-b)(1-c)

=1-(a+b+c)+(ab+bc+ca)-abc

역수의 합에서

\frac1a+\frac1b+\frac1c=\frac{ab+bc+ca}{abc}=1

ab+bc+ca=abc

따라서

(1-a)(1-b)(1-c)

=1-(-1)+(ab+bc+ca)-abc

=2

따라서 답은 $2$ 입니다.

심화 예제 2

x+y+z=4,\quad xy+yz+zx=2,\quad xyz=7

일 때, $(x+y)(y+z)(z+x)$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

심화 공식에 바로 대입합니다.

(x+y)(y+z)(z+x)

=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz

=4\cdot2-7

=1

따라서 답은 $1$ 입니다.

심화 예제 3

a+b+c=1,\quad a^2+b^2+c^2=3,\quad a^3+b^3+c^3=-2

일 때, $(a+b)(b+c)(c+a)$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

구하려는 대상은 두 수의 합의 곱입니다. 따라서 $a+b+c$ , $ab+bc+ca$ , $abc$ 를 찾아야 합니다.

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)

1^2=3+2(ab+bc+ca)

ab+bc+ca=-1

이제 세제곱의 합 구조를 이용하여 $abc$ 를 구합니다.

a^3+b^3+c^3-3abc

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

-2-3abc=1\cdot(3-(-1))

-2-3abc=4

abc=-2

따라서

(a+b)(b+c)(c+a)

=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

=1\cdot(-1)-(-2)

=1

따라서 답은 $1$ 입니다.

심화 예제 4

x+y+z=3,\quad xy+yz+zx=1,\quad xyz=2

일 때, $(xy+yz)(yz+zx)(zx+xy)$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

새로운 문자를 둡니다.

A=xy,\quad B=yz,\quad C=zx

그러면 구하려는 식은

(A+B)(B+C)(C+A)

입니다.

A+B+C=xy+yz+zx=1

ABC=(xy)(yz)(zx)=x^2y^2z^2=(xyz)^2=4

또한

AB+BC+CA

=xy\cdot yz+yz\cdot zx+zx\cdot xy

=xyz(x+y+z)

=2\cdot3=6

따라서

(A+B)(B+C)(C+A)

=(A+B+C)(AB+BC+CA)-ABC

=1\cdot6-4

=2

따라서 답은 $2$ 입니다.

심화 예제 5

다음 각 식을 인수분해하여라.

(a+b)(b+c)(c+a)+abc

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

풀이 보기

첫 번째 식은 심화 공식을 이용합니다.

(a+b)(b+c)(c+a)

=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

따라서

(a+b)(b+c)(c+a)+abc

=(a+b+c)(ab+bc+ca)

두 번째 식은 심화 공식을 거꾸로 사용합니다.

(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

=(a+b)(b+c)(c+a)

참고

다음 식은 반드시 기억해 두는 것이 좋습니다.

(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

이 식은 세 수의 합, 두 수씩 곱한 값의 합, 세 수의 곱을 연결합니다. 앞으로 대칭식, 인수분해, 방정식 문제에서 자주 사용됩니다.

1.13 합과 차의 곱의 전개

합과 차의 곱은 두 식에서 같은 부분과 부호만 다른 부분을 찾아서 전개합니다. 같은 부분을 먼저 보고, 다른 부분을 구분할 수 있으면 항을 옮기거나 문자를 치환하지 않고도 바로 식을 정리할 수 있습니다.

기본형

(x+y)(x-y)

두 괄호에서 같은 것은 $x$ 이고, 부호만 다른 것은 $y$ 입니다.

(x+y)(x-y)=x^2-y^2

즉, 합과 차의 곱은 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

(\text{같은 것}+\text{다른 것})(\text{같은 것}-\text{다른 것})

=(\text{같은 것})^2-(\text{다른 것})^2

같은 것과 다른 것 찾기

(a+b+c)(a-b+c)

두 괄호에서 부호가 같은 부분은 $a+c$ 이고, 부호가 다른 부분은 $b$ 입니다.

\text{같은 것}=a+c

\text{다른 것}=b

따라서 항을 옮기거나 문자를 새로 두지 않아도 바로 정리할 수 있습니다.

(a+b+c)(a-b+c)

=(a+c)^2-b^2

부호가 여러 개일 때

(a+b-c+d)(a-b-c-d)

두 괄호에서 부호가 같은 부분은 $a-c$ 이고, 부호가 다른 부분은 $b+d$ 입니다.

\text{같은 것}=a-c

\text{다른 것}=b+d

(a+b-c+d)(a-b-c-d)

=(a-c)^2-(b+d)^2

문자나 항이 많아져도 원리는 같습니다. 두 괄호에서 부호가 같은 부분과 다른 부분을 먼저 찾습니다.

기억할 구조

(\triangle+\square)(\triangle-\square)=\triangle^2-\square^2

여기서 $\triangle$ 은 두 식에서 부호가 같은 부분이고, $\square$ 은 부호만 다른 부분입니다.

따라서 합과 차의 곱에서는 먼저 같은 것과 다른 것을 찾는 것이 중요합니다.

예제 1

다음 식을 전개하여라.

(x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)

풀이 보기

앞의 두 괄호는 합과 차의 곱입니다.

(x+y)(x-y)=x^2-y^2

뒤의 두 괄호에서도 같은 것과 다른 것을 찾습니다.

\text{같은 것}=x^2+y^2

\text{다른 것}=xy

(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)

=(x^2+y^2)^2-(xy)^2

=x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2

=x^4+x^2y^2+y^4

따라서 전체 식은

(x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4)

입니다. 이것은 세제곱의 차 구조입니다.

(x^2-y^2)(x^4+x^2y^2+y^4)=x^6-y^6

따라서 답은 $x^6-y^6$ 입니다.

예제 2

다음 식을 전개하여라.

(x+1)(x-1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)

풀이 보기

먼저 앞의 두 괄호를 전개합니다.

(x+1)(x-1)=x^2-1

뒤의 두 괄호에서는 같은 것과 다른 것을 찾습니다.

\text{같은 것}=x^2+1

\text{다른 것}=x

(x^2+x+1)(x^2-x+1)

=(x^2+1)^2-x^2

=x^4+x^2+1

따라서 전체 식은

(x^2-1)(x^4+x^2+1)

입니다.

(x^2-1)(x^4+x^2+1)=x^6-1

따라서 답은 $x^6-1$ 입니다.

예제 3

다음 식을 전개하여라.

(x^2+x+1)(x^2-x+1)

풀이 보기

두 괄호에서 같은 것과 다른 것을 찾습니다.

\text{같은 것}=x^2+1

\text{다른 것}=x

(x^2+x+1)(x^2-x+1)

=(x^2+1)^2-x^2

=x^4+2x^2+1-x^2

=x^4+x^2+1

따라서 답은 $x^4+x^2+1$ 입니다.

예제 4

다음 식을 전개하여라.

(1+x+x^2)(1-x+x^2)(1-x^2+x^4)(1-x^4+x^8)

풀이 보기

처음 두 괄호에서 같은 것과 다른 것을 찾습니다.

\text{같은 것}=1+x^2

\text{다른 것}=x

(1+x+x^2)(1-x+x^2)

=(1+x^2)^2-x^2

=1+x^2+x^4

따라서 전체 식은

(1+x^2+x^4)(1-x^2+x^4)(1-x^4+x^8)

다시 앞의 두 괄호를 합과 차의 곱으로 봅니다.

\text{같은 것}=1+x^4

\text{다른 것}=x^2

(1+x^2+x^4)(1-x^2+x^4)

=(1+x^4)^2-x^4

=1+x^4+x^8

따라서 전체 식은

(1+x^4+x^8)(1-x^4+x^8)

한 번 더 같은 구조를 사용합니다.

\text{같은 것}=1+x^8

\text{다른 것}=x^4

(1+x^4+x^8)(1-x^4+x^8)

=(1+x^8)^2-x^8

=1+x^8+x^{16}

따라서 답은 $1+x^8+x^{16}$ 입니다.

수학적 사고

합과 차의 곱에서는 먼저 같은 것과 다른 것을 판정합니다. 이 과정을 익히면 항을 옮기거나 문자를 치환하는 과정을 줄일 수 있습니다.

식을 전개하기 전에 구조를 먼저 보는 습관은 이후 인수분해와 복잡한 식의 변형에서도 매우 중요합니다.

1.14 복이차식 인수분해

복이차식은 문자의 차수가 짝수로만 이루어진 식입니다. 복이차식은 먼저 치환할 수 있는지 확인하고, 치환만으로 어려울 때는 완전제곱식을 조립하여 인수분해합니다.

먼저 익혀 두면 좋은 제곱수

다음 제곱수들은 완전제곱식의 계수 구조를 읽는 데 도움이 됩니다.

11^2=121

12^2=144

13^2=169

21^2=441

31^2=961

예를 들어 $144$ 는 단순한 숫자가 아니라 $1,\;4,\;4$ 의 구조로 볼 수 있습니다. 이는 다음 완전제곱식의 계수 구조와 같습니다.

(x+2)^2=x^2+4x+4

따라서 $1,\;4,\;4$ 가 보이면 완전제곱식의 흔적을 먼저 생각해 볼 수 있습니다.

복이차식의 기본형

다음 식을 생각해 봅시다.

x^4-5x^2+4

이 식은 $x^2$ 를 하나의 문자처럼 볼 수 있습니다.

X=x^2

그러면 식은 다음과 같이 바뀝니다.

X^2-5X+4

=(X-1)(X-4)

다시 $X=x^2$ 를 대입하면

x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)

=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

치환이 먼저다

복이차식에서는 먼저 $x^2$ 를 하나의 문자로 볼 수 있는지 확인합니다.

x^4+px^2+q

는

X^2+pX+q

로 바꿀 수 있습니다. 따라서 일반적인 이차식처럼 인수분해할 수 있는지 먼저 확인합니다.

완전제곱식으로 조립하기

다음 식은 $x^2$ 로 치환해도 바로 인수분해되지 않습니다.

x^4+4

이때 양 끝항을 이용해 완전제곱식을 조립합니다.

x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2

원래 식에는 $4x^2$ 가 없으므로, 더한 만큼 다시 빼 줍니다.

x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2

=x^4+4x^2+4-(2x)^2

=(x^2+2)^2-(2x)^2

이제 합과 차의 곱을 사용합니다.

(x^2+2)^2-(2x)^2

=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)

=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)

조립의 순서

먼저 $x^2$ 를 하나의 문자로 볼 수 있는지 확인한다.
치환으로 인수분해되지 않으면 양 끝항을 보고 완전제곱식을 만든다.
부족한 가운데 항을 더하고, 더한 만큼 다시 뺀다.
완전제곱식의 차로 바꾸어 합과 차의 곱을 사용한다.

예제 1

다음 식을 인수분해하여라.

x^4-13x^2+36

풀이 보기

$X=x^2$ 로 치환합니다.

x^4-13x^2+36=X^2-13X+36

X^2-13X+36=(X-4)(X-9)

다시 $X=x^2$ 를 대입합니다.

(x^2-4)(x^2-9)

=(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)

따라서 답은 $(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)$ 입니다.

예제 2

다음 식을 인수분해하여라.

x^4+4

풀이 보기

양 끝항 $x^4$ 와 $4$ 를 이용하여 완전제곱식을 조립합니다.

x^4+4x^2+4=(x^2+2)^2

원래 식에 $4x^2$ 를 더하고 다시 빼 줍니다.

x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2

=(x^2+2)^2-(2x)^2

=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)

따라서 답은 $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ 입니다.

예제 3

다음 식을 인수분해하여라.

a^4+a^2b^2+b^4

풀이 보기

양 끝항 $a^4$ 와 $b^4$ 를 보고 완전제곱식을 조립합니다.

a^4+2a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2

원래 식에는 $a^2b^2$ 만 있으므로, $a^2b^2$ 를 하나 더 더하고 다시 빼 줍니다.

a^4+a^2b^2+b^4

=a^4+2a^2b^2+b^4-a^2b^2

=(a^2+b^2)^2-(ab)^2

이제 합과 차의 곱을 사용합니다.

(a^2+b^2)^2-(ab)^2

=(a^2+b^2-ab)(a^2+b^2+ab)

=(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)

따라서 답은 $(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)$ 입니다.

참고

복이차식 인수분해에서 중요한 것은 완전제곱식을 조립하는 감각입니다. 양 끝항을 보고 어떤 완전제곱식을 만들 수 있는지 먼저 생각합니다.

제곱수의 구조를 익혀 두면 복이차식뿐 아니라 이후의 완전제곱식 변형에서도 식을 더 빠르고 정확하게 읽을 수 있습니다.

1.15 치환하는 인수분해

치환은 새로운 문자를 만드는 기술이 아니라, 식 안에서 공통인 부분을 발견하는 방법입니다. 공통인 부분을 하나의 문자로 보면 복잡한 식도 간단한 이차식처럼 다룰 수 있습니다.

먼저 숫자로 생각해 보기

먼저 $1,\;2,\;3,\;4$ 를 두 개씩 묶어 공통인 합이 나오도록 나누어 봅니다.

1+4=5

2+3=5

즉, $(1,4)$ 와 $(2,3)$ 으로 나누면 공통인 합 $5$ 가 만들어집니다.

이번에는 $1,\;2,\;3,\;6$ 을 두 개씩 묶어 봅니다. 이 경우에는 합보다 곱을 보는 것이 좋습니다.

1\cdot6=6

2\cdot3=6

즉, $(1,6)$ 과 $(2,3)$ 으로 나누면 공통인 곱 $6$ 이 만들어집니다.

식을 묶을 때도 마찬가지입니다. 공통인 합이나 공통인 곱이 나오도록 묶으면 치환할 대상을 찾을 수 있습니다.

공통인 부분 찾기

다음 식을 생각해 봅니다.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

네 괄호를 그대로 전개하면 계산이 복잡합니다. 대신 공통인 부분이 나오도록 둘씩 묶습니다.

(x+1)(x+4)=x^2+5x+4

(x+2)(x+3)=x^2+5x+6

두 식에는 $x^2+5x$ 라는 공통인 부분이 있습니다.

X=x^2+5x

따라서 원래 식은 다음과 같이 바뀝니다.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)

=(X+4)(X+6)

이것이 치환의 기본 생각입니다.

치환의 순서

공통인 부분이 나오도록 식을 묶는다.
반복되는 부분을 하나의 문자로 둔다.
간단한 식으로 바꾸어 계산하거나 인수분해한다.
마지막에 원래 문자로 되돌린다.

예제 1

a^2+5a-1=0

일 때, $(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

네 개의 일차식을 공통인 부분이 나오도록 둘씩 묶습니다.

(a+1)(a+4)=a^2+5a+4

(a+2)(a+3)=a^2+5a+6

여기서 공통인 부분은 $a^2+5a$ 입니다.

X=a^2+5a

주어진 조건 $a^2+5a-1=0$ 에서

a^2+5a=1

X=1

따라서

(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)

=(X+4)(X+6)

=(1+4)(1+6)

=35

따라서 답은 $35$ 입니다.

예제 2

다음 식을 인수분해하여라.

(x^2+2x-1)(x^2+2x-2)-2

풀이 보기

공통인 부분은 $x^2+2x$ 입니다.

X=x^2+2x

그러면 주어진 식은 다음과 같이 바뀝니다.

(X-1)(X-2)-2

=X^2-3X+2-2

=X^2-3X

=X(X-3)

다시 원래 문자로 바꾸면

X=x^2+2x=x(x+2)

X-3=x^2+2x-3=(x-1)(x+3)

따라서

(x^2+2x-1)(x^2+2x-2)-2

=x(x+2)(x-1)(x+3)

따라서 인수분해하면 $x(x+2)(x-1)(x+3)$ 입니다.

예제 3

다음 식을 인수분해하여라.

(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24

풀이 보기

공통인 부분이 나오도록 둘씩 묶습니다.

(x-1)(x+2)=x^2+x-2

(x-3)(x+4)=x^2+x-12

공통인 부분은 $x^2+x$ 입니다.

X=x^2+x

그러면 원래 식은

(X-2)(X-12)+24

=X^2-14X+24+24

=X^2-14X+48

=(X-6)(X-8)

다시 원래 문자로 바꾸면

(x^2+x-6)(x^2+x-8)

=(x+3)(x-2)(x^2+x-8)

따라서 답은 $(x+3)(x-2)(x^2+x-8)$ 입니다.

예제 4

다항식 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+k$ 가 완전제곱식이 되도록 하는 상수 $k$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

앞에서 본 것처럼

(x+1)(x+4)=x^2+5x+4

(x+2)(x+3)=x^2+5x+6

이므로 $X=x^2+5x$ 로 치환합니다.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+k

=(X+4)(X+6)+k

=X^2+10X+24+k

완전제곱식이 되려면

X^2+10X+25=(X+5)^2

의 형태가 되어야 합니다.

24+k=25

k=1

따라서 답은 $1$ 입니다.

객관식에서의 관찰

완전제곱식이 되려면 상수항도 제곱수가 되어야 합니다. 따라서 객관식 문제에서는 모든 계산을 하기 전에 보기 중에서 상수항을 제곱수로 만드는 값이 있는지 먼저 확인할 수 있습니다.

예제 5

$(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+k$ 가 완전제곱식이 될 때, 상수 $k$ 의 값을 구하여라.

풀이 보기

공통인 부분이 나오도록 둘씩 묶습니다.

(x+1)(x+7)=x^2+8x+7

(x+3)(x+5)=x^2+8x+15

공통인 부분은 $x^2+8x$ 입니다.

X=x^2+8x

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+k

=(X+7)(X+15)+k

=X^2+22X+105+k

완전제곱식이 되려면

X^2+22X+121=(X+11)^2

의 형태가 되어야 합니다.

105+k=121

k=16

따라서 답은 $16$ 입니다.

예제 6

다음 식을 인수분해하여라.

(x-2)(x-6)(x-3)(x-4)-6x^2

풀이 보기

공통인 부분이 나오도록 묶습니다.

(x-2)(x-6)=x^2-8x+12

(x-3)(x-4)=x^2-7x+12

두 식에는 $x^2+12$ 가 공통으로 들어 있습니다.

X=x^2+12

그러면 원래 식은 다음과 같이 바뀝니다.

(x^2-8x+12)(x^2-7x+12)-6x^2

=(X-8x)(X-7x)-6x^2

=X^2-15xX+56x^2-6x^2

=X^2-15xX+50x^2

=(X-5x)(X-10x)

다시 $X=x^2+12$ 를 대입합니다.

=(x^2+12-5x)(x^2+12-10x)

=(x^2-5x+12)(x^2-10x+12)

따라서 답은 $(x^2-5x+12)(x^2-10x+12)$ 입니다.

참고

치환의 핵심은 공통인 부분을 찾는 것입니다. 새로운 문자를 먼저 정하는 것이 아니라, 반복되는 구조가 무엇인지 먼저 보아야 합니다.

공통인 합, 공통인 곱, 반복되는 식을 찾으면 복잡한 식도 간단한 이차식으로 바뀔 수 있습니다.

1.16 역으로 조립하는 인수분해

인수분해가 바로 보이지 않을 때는 전체를 한 번에 보려고 하지 말고, 일부 항만 먼저 인수분해해 봅니다. 부분 인수분해의 결과를 비교하면 전체 인수의 모양을 역으로 조립할 수 있습니다.

부분을 보고 전체를 조립하기

x^2-xy-2y^2+4x-5y+3

먼저 문자항만 보면 다음과 같습니다.

x^2-xy-2y^2=(x-2y)(x+y)

이번에는 $x$ 만 있는 부분을 보면

x^2+4x+3=(x+1)(x+3)

또 $y$ 만 있는 부분을 보면

-2y^2-5y+3=(-2y+1)(y+3)

이 세 가지를 비교하면 전체 식은 다음과 같이 조립될 수 있음을 예상할 수 있습니다.

x^2-xy-2y^2\quad\Rightarrow\quad (x-2y)(x+y)

x^2+4x+3\quad\Rightarrow\quad (x+1)(x+3)

-2y^2-5y+3\quad\Rightarrow\quad (-2y+1)(y+3)

x^2-xy-2y^2+4x-5y+3

=(x-2y+1)(x+y+3)

잘 보이지 않을 때

바로 조립하기 어렵다면 모르는 상수 부분을 문자로 둡니다.

(x-2y+A)(x+y+B)

전개하면

(x-2y+A)(x+y+B)

=x^2-xy-2y^2+(A+B)x+(A-2B)y+AB

원래 식 $x^2-xy-2y^2+4x-5y+3$ 과 계수를 비교합니다.

A+B=4

A-2B=-5

AB=3

따라서

A=1,\quad B=3

x^2-xy-2y^2+4x-5y+3=(x-2y+1)(x+y+3)

예제 1

다음 식을 인수분해하여라.

x^2-xy-2y^2+4x-5y+3

풀이 보기

x^2-xy-2y^2=(x-2y)(x+y)

x^2+4x+3=(x+1)(x+3)

-2y^2-5y+3=(-2y+1)(y+3)

세 부분의 인수분해를 비교하면 $x-2y+1$ 과 $x+y+3$ 이 보입니다.

x^2-xy-2y^2+4x-5y+3

=(x-2y+1)(x+y+3)

따라서 답은 $(x-2y+1)(x+y+3)$ 입니다.

상반식의 인수분해

상반식에서는 양 끝의 $x^4$ 와 상수항이 인수의 모양을 결정합니다. 그 다음 삼차항과 일차항의 계수를 보고 부호 구조를 정합니다.

삼차항과 일차항의 계수가 같은 경우

x^4+x^3-10x^2+x+1

양 끝이 $x^4$ 와 $1$ 이고, 삼차항과 일차항의 계수가 같습니다. 따라서 다음과 같이 둡니다.

(x^2+Ax+1)(x^2+Bx+1)

전개하면

(x^2+Ax+1)(x^2+Bx+1)

=x^4+(A+B)x^3+(AB+2)x^2+(A+B)x+1

계수를 비교하면

A+B=1

AB+2=-10

AB=-12

따라서

A=4,\quad B=-3

x^4+x^3-10x^2+x+1

=(x^2+4x+1)(x^2-3x+1)

삼차항과 일차항의 부호가 반대인 경우

x^4+x^3-14x^2-x+1

양 끝은 $x^4$ 와 $1$ 이지만, 삼차항과 일차항의 부호가 반대입니다. 이때는 다음과 같이 둡니다.

(x^2+Ax-1)(x^2+Bx-1)

전개하면

(x^2+Ax-1)(x^2+Bx-1)

=x^4+(A+B)x^3+(AB-2)x^2-(A+B)x+1

계수를 비교하면

A+B=1

AB-2=-14

AB=-12

따라서

A=4,\quad B=-3

x^4+x^3-14x^2-x+1

=(x^2+4x-1)(x^2-3x-1)

예제 2

다음 식을 인수분해하여라.

x^4+x^3-10x^2+x+1

풀이 보기

삼차항과 일차항의 계수가 같으므로

(x^2+Ax+1)(x^2+Bx+1)

로 둡니다.

A+B=1,\quad AB=-12

A=4,\quad B=-3

x^4+x^3-10x^2+x+1

=(x^2+4x+1)(x^2-3x+1)

따라서 답은 $(x^2+4x+1)(x^2-3x+1)$ 입니다.

예제 3

다음 식을 인수분해하여라.

x^4+x^3-14x^2-x+1

풀이 보기

삼차항과 일차항의 부호가 반대이므로

(x^2+Ax-1)(x^2+Bx-1)

로 둡니다.

A+B=1,\quad AB=-12

A=4,\quad B=-3

x^4+x^3-14x^2-x+1

=(x^2+4x-1)(x^2-3x-1)

따라서 답은 $(x^2+4x-1)(x^2-3x-1)$ 입니다.

참고 : 상반식의 일반적인 풀이

일반적으로 상반식은 $x^2$ 으로 나누어 $x+\frac1x$ 를 치환하여 풀 수도 있습니다.

x^4+x^3-10x^2+x+1

양변을 $x^2$ 으로 나누면

x^2+x-10+\frac1x+\frac1{x^2}

이고, 이를 정리하면

\left(x^2+\frac1{x^2}\right)+\left(x+\frac1x\right)-10

여기서

x^2+\frac1{x^2}=\left(x+\frac1x\right)^2-2

이므로

\left(x+\frac1x\right)^2+\left(x+\frac1x\right)-12

$t=x+\frac1x$ 로 치환하면

t^2+t-12

=(t+4)(t-3)

이것이 참고서에서 흔히 사용하는 일반적인 풀이입니다. 이 단원에서는 먼저 인수의 모양을 역으로 조립하는 방법을 익히고, 일반적인 치환 풀이와 비교해 봅니다.

정리

역으로 조립하는 인수분해에서는 먼저 전체를 전개하려고 하지 않습니다. 일부 항을 먼저 인수분해해 보고, 인수의 모양을 예상한 뒤, 필요하면 모르는 부분을 $A,\;B$ 로 두고 계수를 비교합니다.

1.17 그 외의 인수분해

인수분해가 바로 보이지 않을 때는 모든 문자를 한꺼번에 보려고 하지 않습니다. 개수가 적거나 차수가 낮은 문자 하나를 선택하고, 그 문자에 대해 내림차순으로 정리합니다. 그러면 문자가 없는 부분이나 계수 부분에서 인수분해의 단서를 찾을 수 있습니다.

정리하는 순서

개수가 적거나 차수가 낮은 문자를 선택한다.
그 문자에 대해 내림차순으로 정리한다.
선택한 문자가 없는 부분을 먼저 인수분해한다.
그 결과를 단서로 전체 식을 인수분해한다.

예제 1

다음 식을 인수분해하여라.

x^2y+y^2z-y^3-x^2z

풀이 보기

먼저 항을 묶어 봅니다.

x^2y+y^2z-y^3-x^2z

=x^2(y-z)+y^2(z-y)

여기서 $z-y=-(y-z)$ 이므로

=x^2(y-z)-y^2(y-z)

=(y-z)(x^2-y^2)

이제 합과 차의 곱을 사용합니다.

=(y-z)(x-y)(x+y)

따라서 답은 $(y-z)(x-y)(x+y)$ 입니다.

예제 2

다음 식을 인수분해하여라.

a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)

풀이 보기

$a$ 에 대해 내림차순으로 정리합니다.

a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)

=(b-c)a^2+(c^2-b^2)a+b^2c-bc^2

가운데 계수와 상수항을 인수분해합니다.

c^2-b^2=-(b-c)(b+c)

b^2c-bc^2=bc(b-c)

따라서

=(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)

=(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\}

괄호 안을 인수분해하면

a^2-(b+c)a+bc=(a-b)(a-c)

a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)

=(b-c)(a-b)(a-c)

따라서 답은 $-(a-b)(b-c)(c-a)$ 입니다.

예제 3

다음 식을 인수분해하여라.

ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)

풀이 보기

먼저 전개한 뒤 $a$ 에 대해 정리합니다.

ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)

=a^2b-ab^2+b^2c-bc^2+ac^2-a^2c

=(b-c)a^2+(c^2-b^2)a+bc(b-c)

예제 2와 같은 구조가 나타납니다.

c^2-b^2=-(b-c)(b+c)

=(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)

=(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\}

=(b-c)(a-b)(a-c)

따라서 답은 $-(a-b)(b-c)(c-a)$ 입니다.

참고 : 하나로 묶어 보는 인수분해

다음 식 하나를 기억해 두면 여러 인수분해 공식을 한꺼번에 연결해서 볼 수 있습니다.

x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)

x^2-1=(x-1)(x+1)

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)

x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)

x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)

또한 $x^6-1$ 은 다음 두 가지 방식으로도 볼 수 있습니다.

x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)

x^6-1=(x^2-1)(x^4+x^2+1)

같은 식을 여러 방식으로 인수분해하면, 각각의 공식이 따로 떨어져 있는 것이 아니라 하나의 구조 안에서 연결되어 있음을 알 수 있습니다.

정리

인수분해가 바로 보이지 않으면 문자를 하나 선택해 내림차순으로 정리합니다. 특히 선택한 문자가 없는 부분을 먼저 인수분해하면 전체 인수분해의 방향이 보이는 경우가 많습니다.

1.1 단항식과 다항식

예제

1.2 계수와 차수

생각해보기

xxx 에 대하여

yyy 에 대하여

x,yx, yx,y 에 대하여

정리

1.3 다항식의 정리

예제

xxx에 대하여 내림차순

xxx에 대하여 오름차순

yyy에 대하여 내림차순

yyy에 대하여 오름차순

정리

1.4 곱셈의 원칙

예제 1

예제 2

정리

1.5 지수법칙

생각해보기 1

지수법칙 ①

생각해보기 2

지수법칙 ②

생각해보기 3

지수법칙 ③

정리

1.6 다항식의 덧셈과 뺄셈

계산의 원칙

예제 1 : 숫자 계수의 계산

예제 2 : 문자 계수의 계산

예제 3 : 필요한 항만 보면서 계산하기

예제 4 : 괄호를 모두 풀지 않고 계산하기

부호 추적

핵심

정리

1.7 2항의 거듭제곱

초등수학에서 문자로

곱셈의 횟수

실제 전개되는 항

공식 암기 요령

2항의 제곱

2항의 세제곱

제곱의 합, 합, 곱

세제곱의 합, 합, 곱

합과 차는 제곱으로 연결됩니다

심화 예제 : 3개 중 2개를 이용하여 나머지 1개를 찾습니다

예제 1

예제 2

예제 3

예제 4

예제 5

① 합 구하기

② 곱 구하기

③ 세제곱의 합 구하기

수학적 사고

정리

1.8 다항의 제곱

곱셈의 횟수

표로 보는 다항의 제곱

3항의 제곱

4항의 제곱

구조

예제

수학적 사고

정리

1.9 세 수의 합과 제곱의 합의 변형

삼항제곱의 전개식

삼항제곱식의 변형

중요한 구조

0이 되는 경우

예제 1

예제 2

예제 3

예제 4

예제 5

1.10 세 수의 세제곱의 합과 전개구조

핵심 전개식

구조의 이해

0이 되는 경우

$x$ 에 대하여

$y$ 에 대하여

$x, y$ 에 대하여

$x$ 에 대하여 내림차순

$x$ 에 대하여 오름차순

$y$ 에 대하여 내림차순

$y$ 에 대하여 오름차순